基本簡介

法國科學家J.-B.-J.傅里葉由于當時工業上處理金屬的需要，從事熱流動的研究。他在題為《熱的解析理論》一文中，發展了熱流動方程，并指出了任意周期函數都可以用三角基來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴格的論證，但對近代數學以及物理、工程技術卻都產生了深遠的影響，成為傅里葉分析的起源。

由三角函數系{cosnx,sinnx}(n=0,1,2，…）組成的無窮級數稱為三角級數，其中αn,bn為系數，與x無關。若級數⑴對于一切x收斂，它的和記為(x）：則(x）是一個具有周期2π的周期函數。上式兩邊分別乘以cosnx或sinnx，并且在（0,2π）上同時積分，就得到公式上面的運算是形式的，因為符號Σ與積分的交換缺乏根據。

為了保證上述運算的正確性，應當對級數⑴的收斂性加以必要的限制，例如一致收斂性等。但是，上面提供的純形式運算，卻提出了一個很有意義的問題：如果(x）是一個給定的以2π為周期的周期函數，通過⑶可以得到一列系數αn,bn，從而可構造出相應的三角級數⑴。這樣得到的三角級數⑴是否表示(x）？正是傅里葉，他首先認為這樣得到的級數⑴可以表示(x）。

給定(x），利用⑶得到的三角級數⑴，稱為的傅里葉級數，而稱⑶為的傅里葉系數。這種思想可以推廣到任意區間上的正交函數系。特別，（n=0，±1，±2，…）是[0,2π]上的規范正交函數系，函數關于它的傅里葉級數為稱為的傅里葉級數的復形式。

發展概況

傅里葉分析從誕生之日起，就圍繞著“傅里葉級數究竟是否收斂于自身”這樣一個中心問題進行研究。當傅里葉提出函數可用級數表示時，他的想法還沒有得到嚴格的數學論證，實際的情形人們并不清楚。P.G.L.狄利克雷是歷史上第一個給出函數(x）的傅里葉級數收斂于它自身的充分條件的數學家。

他的收斂判別法，后稱為狄利克雷-若爾當判別法。他證明了在一個周期上分段單調的周期函數的傅里葉級數，在它的連續點上必收斂于(x）；如果在x點不連續，則級數的和是（(x+0)+(x-0))/2。順便指出，狄利克雷正是在研究傅里葉級數收斂問題的過程中，才提出了函數的正確概念。因為在他的判別法中，函數在一個周期內的分段單調性，可能導致該函數在不同區間上的不同解析表示，這自然應當把它們看做同一個函數的不同組成部分，而不是像當時人們所理解的那樣，認為一個解析表達式就是一個函數。

（G.F.）B.黎曼對傅里葉級數的研究也作出了貢獻。上面說過，確定的傅里葉系數，要用到積分式⑶。但是人們當時對積分的理解還不深入。黎曼在題為《用三角級數來表示函數》（1854)的論文中，為了使得更廣一類函數可以用傅里葉級數來表示，第一次明確地引進并研究了現在稱之為黎曼積分的概念及其性質，使得積分這個分析學中的重要概念，有了堅實的理論基礎。他證明了如果周期函數(x）在[0,2π]上有界且可積，則當n趨于無窮時的傅里葉系數趨于0。此外，黎曼還指出，有界可積函數的傅里葉級數在一點處的收斂性，僅僅依賴于(x）在該點近旁的性質。這個非?；径匾慕Y果稱之為局部性原理。

G.G.斯托克斯和P.L.von賽德爾引進了函數項級數一致收斂性的概念以后，傅里葉級數的收斂問題進一步受到了人們的注意。H.E.海涅在1870年的一篇論文中指出，有界函數(x）可以唯一地表示為三角級數這一結論，通常采用的論證方法是不完備的，因為傅里葉級數未必一致收斂，從而無法確保逐項積分的合理性。這樣，就可能存在不一致收斂的三角級數，而它確實表示一個函數。這就促使G.（F.P.）康托爾研究函數用三角級數表示是否唯一的問題。這種唯一性問題的研究，又促進了對各種點集結構的探討。G.康托爾第一次引進了點集的極限點以及導集等概念，為近代點集論的誕生奠定了基礎。

K.（T.W.）外爾斯特拉斯在1861年首次利用三角級數構造了處處不可求導的連續函數。他的這一發現震動了當時的數學界，因為長期的直觀感覺使人們誤認為，連續函數只有在少數一些點上才不可求導。

發展現狀

勒貝格積分理論

20世紀初，H.L.勒貝格引入了新的積分與點集測度的概念，對傅里葉分析的研究產生了深遠的影響。這種積分與測度，現在稱為勒貝格積分與勒貝格測度，已成為數學各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒貝格用他的積分理論，把上面提到的黎曼的工作又推進了一步。例如，根據勒貝格積分的性質，任何勒貝格可積函數的傅里葉級數，不論收斂與否，都可以逐項積分。又例如，對于[0,2π]上勒貝格平方可積的函數，帕舍伐爾等式成立

傅里葉級數，特別是連續函數的傅里葉級數，是否必處處收斂？1876年P.D.G.杜布瓦－雷蒙首先發現，存在連續函數，它的傅里葉級數在某些點上發散；后又證明，連續函數的傅里葉級數可以在一個無窮點集上處處發散。這反面結果的發現提醒人們對傅里葉級數的收斂性應持審慎態度。

費耶爾求和法

正是基于上述原因，1904年，匈牙利數學家L.費耶爾首次考慮用部分和的算術平均代替級數的部分和，證明了傅里葉級數部分和序列的算術平均，在函數的連續點上，必收斂于函數自身。這樣，通過新的求和法，又能成功地用傅里葉級數表達連續函數。這無疑是傅里葉級數理論的一個重要進展。費耶爾之后，各種求和法相繼產生。一門新的學科分支，發散級數的求和理論，就此應運而生。

盧津猜想

與此同時，傅里葉級數幾乎處處收斂的問題，特別是所謂的盧津猜想，受到人們的重視（見盧津問題）。瑞典數學家L.卡爾森用十分精巧的方法，才證實了這一猜想的正確性。

復變函數論方法

傅里葉級數與單位圓內解析函數的理論有著非常密切的聯系。假設⑴是可積函數的傅里葉級數，簡單的計算表明，它是復變量z的冪級數⑸的實部。另一方面，級數⑸是單位圓內的解析函數，記為F(z）。這樣，傅里葉級數⑴可以通過單位圓內解析函數的理論來研究。這就是傅里葉分析中的復變函數論方法，它是20世紀前半葉研究傅里葉級數的一個重要工具。

經典的H空間概念

進一步的研究導致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立單位圓上H空間的理論。他們研究了單位圓內使有界的解析函數F(z），這里00。這類函數的全體，稱為H空間，它是近代H空間理論的先驅。

通過傅里葉級數刻畫函數類是傅里葉分析中的重要課題，著名的帕舍伐爾公式以及里斯-費希爾定理反映了函數類l(0,2π）的特征。如果P≠2，則有以下的豪斯多夫-楊定理。

李特爾伍德-佩利理論

上述豪斯多夫-楊定理的實質，是用傅里葉系數的大小來反映函數所屬的空間，但它并沒有給出空間L(0，2π）的傅里葉級數特征。因此，不可能象帕舍伐爾公式那樣，用傅里葉系數的大小來刻畫l(0，2π）中函數的特征。

極大函數

20世紀50年代以前的重要工作中，還應當提到哈代與李特爾伍德的其他許多貢獻。特別是30年代，他們用極大函數研究傅里葉級數，取得了很深刻的結果。極大函數是一種算子，它的定義是極大函數M(x）比函數自身要大，用它來控制傅里葉分析中某些算子，可以達到估計其他算子的目的。

50年代以前，傅里葉分析的研究領域基本上限于一維的具體空間，50年代以后的研究，逐漸向多維和抽象空間推廣。

積分理論

積分理論名稱：考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論。

由于偏微分方程等許多數學分支發展的需要，50年代出現的考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論，標志了調和分析進入了一個新的歷史時期。例如，當∈l(Rn），泊松方程Δu=的基本解u(x）的二階導函數，在一定條件下（例如具有Lipα連續性），可以表成如下的奇異積分сn為某常數，僅與維數n有關。積分⑻作為勒貝格積分一般是發散的；注意到Ωj(y）在R的單位球面S上的積分為0，可以證明，積分⑻在柯西主值意義下存在，并且作為x的函數是連續的，從而u(x）是泊松方程的解。

考爾德倫、贊格蒙研究了一類相當廣泛的奇異積分算子⑼的性質，這里Ω(y)是具有一定光滑性的零階齊次函數，且滿足條件。他們證明了這種積分算子具有l有界性（p>1）；利用這些性質，可以得到某類微分方程中解的“先驗估計”。

h空間理論的近代發展E.M.施坦、G.韋斯于20世紀60年代，引進了上半空間上的h空間，它們是n=1的推廣。當n=1時，h(p>0）空間中的函數在R=(-∞，∞）上的邊值函數幾乎處處以及在l范數下都存在，施坦、韋斯定義的多維空間，顯然是一維h(R崹）空間的推廣。

人們自然要問，經典的h(R崹）空間中最基本的性質，例如邊值函數的存在性等，在多維空間中是否還被保留？施坦、韋斯首先發現，p>(n-1)/n時，答案是肯定的；例如他們證明，若F∈，p>(n-1)/n，那么幾乎處處以及在L范數意義下都存在。1964年，考爾德倫、贊格蒙利用高階梯度概念，原則上把h空間的上述限制p>(n-1)/n放寬為p>0，但他們的方法比較復雜，隨著指標p的不同，h空間定義的一致性，當時并不清楚。

70年代初，h空間的近代理論經歷了引人注目的發展。D.L.伯克霍爾德、R.F.岡迪、M.L.西爾費斯坦于1971年，首先就一維的情形，證明的充分且必要的條件是，F(x+iy）的實部u(x,y）的角形極大函數。